Sendo f : R → R uma função dada pela fórmula:

f x = x + 1 ,   s e   x ≤ 0 1 - 2 x ,   s e   x > 0

Determine as compostas f ∘ f .

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Vamos escrever as funções como caixa de pilhas, pois f pode ser de duas maneiras, então teremos 4 funções:

f ∘ f :

f f x = x + 1 + 1 → x + 2 1 - 2 x + 1 → 2 - 2 x 1 - 2 x + 1 → - 1 - 2 x 1 - 2 1 - 2 x → 4 x - 1

Vamos definir os limites agora para cada função:

x + 1 ≤ 0 → x ≤ - 1

1 - 2 x ≤ 0 → x ≥ 1 2

x + 1 > 0 → x > - 1 ,   m a s   d e v e   s e r   t a m b é m   m e n o r   o u   i g u a l   a   0

1 - 2 x > 0 → x < 1 2 ,   m a s   t a m b e m   d e v e   s e r   m a i o r   q u e   0

Passo 2

Vamos escrever a nossa composta:

f ∘ f = x + 2 ,   s e   x ≤ - 1 2 - 2 x ,   s e   x ≥ 1 2 - 1 - 2 x ,   s e - 1 < x ≤ 0 4 x - 1 ,   s e - 1 < x ≤ 0

Resposta

f ∘ f = x + 2 ,   s e   x ≤ - 1 2 - 2 x ,   s e   x ≥ 1 2 - 1 - 2 x ,   s e - 1 < x ≤ 0 4 x - 1 ,   s e - 1 < x ≤ 0