Sendo A B →   =   ( 2,2 , 2 ) , A C →   =   ( 0,2 , - 1 ) e A P →   =   ( - 1,5 , 3 ) , pede-se a distância do ponto P ao plano π determinado pelos pontos A , B e C .

Passo 1

E aí, pessoal? Nessa questão, podemos usar o produto misto para obter para obter o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B → , A C → e A P → . Depois, calculamos a área da base desse paralelepípedo, que será determinada por A B → , A C → , usando o produto vetorial. A distância do ponto P ao plano π determinado pelos pontos A , B e C será a divisão do volume pela área da base do paralelepípedo:

h = | [ A B → ,   A C →   ,   A P → ] | | A B → ∧   A C → |

Passo 2

Vamos começar calculando o produto vetorial:

A B → ∧ A C → =

⎜                 i →                             j →                               k   →   ⎜

⎜               2                           2                               2     ⎜ = ( - 2 - 4 ) i → - ( - 2 + 0 ) j → + ( 4 - 0 ) k →   = ( - 6,2 , 4 )

⎜               0                           2               - 1       ⎜

Então,

A B → ∧ A C → = 36 + 4 + 16 = 56

Passo 3

Agora, podemos calcular o produto misto

( A B → ∧ A C → ) ⋅ A P → = ( - 6,2 , 4 ) ⋅ ( - 1,5 , 3 ) = 6 + 10 + 12 = 28

Pronto, agora temos todos o que precisamos para obter a distância do ponto P ao plano π determinado pelos pontos A , B e C :

h = | [ A B → ,   A C →   ,   A P → ] | | A B → ∧   A C → | = 28 56 = 28 56 56 = 4 ⋅ 14 2 = 14 .

Resposta

h = 14