Sendo g : N → N tal que g n = n 2 se n é par e g n = n + 1 2 se n é ímpar, mostre que existem infinitas funções h : N → N tai que g ∘ f = i N . A função g é inversível?

Passo 1

Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!

Pessoal eu acho que o exercício está errado, porque ele não falou sobre nenhuma f aqui, então vamos resolver para a composta h ∘ g = i N , assim como no exercício anterior.

Temos duas funções, então vamos escrever no formato de caixa de pilhas para deixar mais claro:

g n = n 2 ,   s e   n   é   p a r n + 1 2 ,   s e   n   é   í m p a r

Bora começar. Sabemos que os números naturais são os inteiros positivos, então i N x = x , x ∈ N .

Podemos escrever então:

h g ( x ) = x → h x 2 = x ,   s e   x   é   p a r h x + 1 2 = x ,   s e   x   é   í m p a r

Portanto podemos concluir que para qualquer x, irá existir a sua imagem contida no conjunto dos números naturais seja número par, seja número ímpar, ou seja, podem existir infinitas funções dependendo do x presente nos naturais.

Passo 2

A função f é inversível somente se a função for bijetora, como nossa função g(n) existe para par e para ímpar, existe para todo o domínio dos naturais uma imagem presente no contradomínio, ou seja, ela é sobrejetora. Ela não é injetora, pois existem valores diferentes do domínio que apresentam a mesma imagem, por exemplo os números 2 e 3 possuem imagem 2, dessa forma ela não é injetora. Portanto a função g não é inversível, pois não é bijetora.

Resposta

Demonstração