Sendo tal que se n é par e se n é ímpar, mostre que existem infinitas funções tai que . A função é inversível?
Passo 1
Fala galera, bora começar esse exercício de matemática discreta!
Pessoal eu acho que o exercício está errado, porque ele não falou sobre nenhuma f aqui, então vamos resolver para a composta , assim como no exercício anterior.
Temos duas funções, então vamos escrever no formato de caixa de pilhas para deixar mais claro:
Bora começar. Sabemos que os números naturais são os inteiros positivos, então , .
Podemos escrever então:
Portanto podemos concluir que para qualquer x, irá existir a sua imagem contida no conjunto dos números naturais seja número par, seja número ímpar, ou seja, podem existir infinitas funções dependendo do x presente nos naturais.
Passo 2
A função f é inversível somente se a função for bijetora, como nossa função g(n) existe para par e para ímpar, existe para todo o domínio dos naturais uma imagem presente no contradomínio, ou seja, ela é sobrejetora. Ela não é injetora, pois existem valores diferentes do domínio que apresentam a mesma imagem, por exemplo os números 2 e 3 possuem imagem 2, dessa forma ela não é injetora. Portanto a função g não é inversível, pois não é bijetora.
Resposta
Demonstração