Quais das sentenças abertas abaixo definem uma relação de equivalência em Z?

a) x ≡ y (mod 3)

b) x| y

c) x ≤ y

d) mdc(x, y) = 1

e) x + y = 7

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos definir o que cada relação é e na resposta marcamos as que são de equivalência!

  1. Ela é uma relação reflexiva, pois para todo x ∈ Z temos x ≡ x   ( m o d   3 ) , ela é simétrica, x ≡ y   ( m o d   3 ) então y ≡ x   ( m o d   3 ) e ela é transitiva, x ≡ y   ( m o d   3 ) e y ≡ z   ( m o d   3 ) então x ≡ z   ( m o d   3 ) .

Passo 2

b) Para todo x ∈ Z temos x   |   x , então ela é reflexiva;

Se x   |   y e y ≠ x , então y não é divisível por x, portanto não é transitiva, como ela não é transitiva ela não é uma relação de ordem.

Passo 3

Os itens c), d) e e) não possuem relação de equivalência, pois x e y não possuem nenhuma relação.

Resposta

A única que representa uma relação de equivalência é o item a, as demais não são uma relação de ordem.