Quais das sentenças abertas abaixo definem uma relação de equivalência em Z?
a) x ≡ y (mod 3)
b) x| y
c) x ≤ y
d) mdc(x, y) = 1
e) x + y = 7
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos definir o que cada relação é e na resposta marcamos as que são de equivalência!
- Ela é uma relação reflexiva, pois para todo temos , ela é simétrica, então e ela é transitiva, e então .
Passo 2
b) Para todo temos , então ela é reflexiva;
Se e , então y não é divisível por x, portanto não é transitiva, como ela não é transitiva ela não é uma relação de ordem.
Passo 3
Os itens c), d) e e) não possuem relação de equivalência, pois x e y não possuem nenhuma relação.
Resposta
A única que representa uma relação de equivalência é o item a, as demais não são uma relação de ordem.