Enunciado

Uma sequência { x n } é definida pela recorrência x k + 1 = x k - t a n x k .

c) Supondo que l i m n → ∞ x n = L , prove que L = π n para algum inteiro n .

Passo 1

A mentalidade desta alternativa é bastante similar as alternativas anteriores, portanto, vamos começar ela de maneira similar, considerando um valor x n e explorando a recursividade da expressão, belezinha?

Passo 2

Temos que:

x n + 1 = x n - t a n x n → x n = x n + 1 + t a n x n

Se temos que l i m n → ∞ x n = L , podemos garantir que l i m n → ∞ x n + 1 = L , e desta forma obtemos:

l i m n → ∞ x n = l i m n → ∞ x n + 1 + l i m n → ∞ t a n x n → L = L + t a n l i m n → ∞ x n →

→ 0 = t a n L → s i n   L c o s   L = 0

A última igualdade é verdade sempre que L   =   n π , pois isso nos garante que a tangente é nula. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo do passo 2.