Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( - 2 3 ) n - 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | ( - 2 / 3 ) ( n + 1 ) - 1 ( - 2 / 3 ) n - 1 | = l i m n → ∞ | ( - 2 / 3 ) n - 1 ( - 2 / 3 ) 1 ( - 2 / 3 ) n - 1 | = l i m n → ∞ | - 2 / 3 | = 2 / 3

Como temos que L   =   2 / 3   < 1 . Esta é uma série convergente. Agora precisamos checar se ela é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente, beleza?

Passo 3

Para verificar se ela é absolutamente convergente precisamos checar se a seguinte série converge:

∑ n = 1 ∞ | a n | → ∑ n = 1 ∞ | ( - 2 3 ) n - 1 | = ∑ n = 1 ∞ | ( - 2 / 3 ) - 1 ( - 2 / 3 ) n | = ∑ n = 1 ∞ | ( - 3 / 2 ) ( - 2 / 3 ) n | = 3 2 ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n

Como esta é uma série geométrica com | r | < 1 , temos que está é uma série convergente, garantindo então que a nossa série original é absolutamente convergente. Esta questão é isso, te vejo na próxima!! Tchauzinho!

Resposta

A C