Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 3 ) 2 ( n + 1 ) 3

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

l i m n → ∞ a n b n = c > 0

nos garante que ambas as séries divergem ou convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

A série-p ∑ n = 1 ∞ 1 n p :

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!

Passo 2

Antes de iniciarmos nossas comparações, vamos expandir alguns termos:

∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 3 ) 2 ( n + 1 ) 3 = 9 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 + 12 n + 9 ( n + 1 ) ( n 2 + 2 n + 1 ) = 9 + ∑ n = 1 ∞ 4 n 2 + 12 n + 9 n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1

Como esta é uma soma infinita apenas os termos de maior magnitude precisam ser considerados no denominador e numerador, portanto, podemos resumir nosso a n à:

a n =   4 n 2 n 3 = 4 n

Vamos utilizar agora o teste da comparação, belezinha?

Passo 3

Vamos comparar este a n com o b n = 1 n que pela definição da série-p diverge, note que:

l i m n → ∞ 5 / n 1 / n = 5 > 0

Portanto ambas as séries divergem. Esta questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

D