Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n - 5 n )

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência das séries da forma:

A série-p ∑ n = 1 ∞ 1 n p

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

A geométrica ∑ n = 0 ∞ a r n :

  • converge se | r | < 1
  • diverge se | r | ≥ 1

Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!

Passo 2

Vamos reescrever um pouco nossa série:

∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n - 5 n ) = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n - 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2

Precisamos que ambas as séries sejam convergentes para que a nossa série seja convergente. Se uma delas for divergente é o suficiente para dizer que nossa série é divergente. Vamos analisar a segunda inicialmente!

Passo 3

Vamos considerar a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 / 2

Esta é uma série-p com p = 1 / 2 , isso indica que esta série é divergente. Vamos analisar agora a outra série, se ela for convergente, temos a divergência da série original, mas se ela for divergente temos que analisar um pouco mais o sistema, pois ∞ - ∞ é indeterminado. Bora lá!

Passo 4

Vamos analisar a primeira componente de nossa série:

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 ) n

Essa é uma série geométrica com r   =   1 / 3   → | r | < 1 , portanto é uma série convergente. Se temos a soma de uma série convergente com uma divergente, temos que a série original é divergente. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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