Enunciado

Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( n 2 + 9 ) ( - 2 ) 1 - n

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | ( ( n + 1 ) 2 + 9 ) ( - 2 ) 1 - ( n + 1 ) ( n 2 + 9 ) ( - 2 ) 1 - n | = | l i m n → ∞ ( ( n + 1 ) 2 + 9 ) ( - 2 ) 1 - n ( - 2 ) - 1 ( n 2 + 9 ) ( - 2 ) 1 - n | = | l i m n → ∞ - 1 2 n 2 + 2 n + 10 n 2 + 9 |

Até aqui tudo certo? Vamos com calma! Ahahaha, olha só, aquele limite no final é uma indefinição da forma ∞ / ∞ portanto podemos usar L’Hospital, bora fazer isso!

Passo 3

| - 1 2 l i m n → ∞ n 2 + 2 n + 10 n 2 + 9 | → L ' H o s p i t a l → | - 1 2 l i m n → ∞ 2 n + 2 2 n | → L ' H o s p i t a l →

→ | - 1 2 l i m n → ∞ 2 2 |   = | - 1 2 l i m n → ∞ 1 |   =   1 2

Como temos L   =   1 / 2 < 1 podemos garantir a convergência absoluta da série! Belezinha? A questão acaba aqui, te vejo na próxima!

Resposta

A C