Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 3 n - 1 n 2 + 9

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | 3 ( n + 1 ) + 1 / ( ( n + 1 ) 2 + 9 ) 3 n / ( n 2 + 9 ) | = | l i m n → ∞ 3 n 3 2 3 n n 2 + 9 ( n + 1 ) 2 + 9 | = | l i m n → ∞ 9 n 2 + 9 n 2 + 2 n + 10 | →

→ 9 l i m n → ∞ 1 + 9 / n 2 1 + 2 / n + 10 / n 2 = 9 × 1 + 0 1 + 0 + 0 = 9

Como temos que o limite é maior do que 1, esta série é divergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

D