Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e a n ≥ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

A geométrica ∑ n = 0 ∞ a r n :

  • converge se | r | < 1
  • diverge se | r | ≥ 1

Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!

Passo 2

Vamos comparar nossa série com a seguinte série geométrica:

∑ n = 0 ∞ 1 3 n → s é r i e   c o n v e r g e n t e

Note que necessariamente temos que:

1 3 n + 2 < 1 3 n

De acordo com o teste da comparação descrito acima, temos então que como a n ≤ b n , e como b n é relacionado a uma série convergente. Temos que a série relacionada à a n também é convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

C