Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n ! l n ( n + 1 )

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | ( n + 1 ) ! / l n ( n + 2 ) n ! / l n ( n + 1 ) | = l i m n → ∞ | ( n + 1 ) × n ! n ! l n ( n + 1 ) l n ( n + 2 ) | = | l i m n → ∞ ( n + 1 ) l n ( n + 1 ) l n ( n + 2 ) |

Temos aqui uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ então vamos tentar aplicar L’Hospital, bora lá!

Passo 3

| l i m n → ∞ ( n + 1 ) l n ( n + 1 ) l n ( n + 2 ) | → L ' H o s p i t a l → | l i m n → ∞ l n ( n + 1 ) + ( n + 1 ) / ( n + 1 ) 1 / ( n + 2 ) | →

→ | l i m n → ∞ ( l n ( n + 1 ) + 1 ) ( n + 2 ) |   =   ∞

Como este limite diverge, podemos garantir que a série também diverge! A questão foi isso, te vejo na próxima! Inté!!

Resposta

D