Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n l n ( n ) n

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta é uma série alternada então podemos utilizar o teste das séries alternadas que especifica:

Se temos uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 a n = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + . . . + ( - 1 ) n - 1 a n + . . .

é convergente se se verificam as duas condições seguintes:

  • a k ≥ a k + 1 > 0 para todo k .
  • l i m n → ∞ a n = 0

Vamos checar estas condições, belezinha?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a nossa série no formato que está dado acima, beleza? Algo assim:

∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) n l n ( n ) n = ∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) ( - 1 ) × ( - 1 ) n l n ( n ) n = - ∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) n - 1 l n   ( n ) n

Vamos agora analisar se os termos desta série são decrescentes:

d d x l n ( x ) x = 1 / ( 2 x l n ( x ) ) x - l n ( x ) x 2 = 1 x 2 ( 1 2 l n ( x ) - l n ( x ) ) = - l n ( x ) x 2 ( 1 - 1 2 l n ( x ) )

Ou seja, para x ≥ 2 , temos que os termos da série são decrescentes. Agora precisamos apenas checar o limite. Bora lá!

Passo 3

Vamos calcular o limite estabelecido no teorema:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ l n ( n ) n → L ' H o s p i t a l → l i m n → ∞ 1 / ( 2 n l n   ( n ) ) 1 = 0 1 = 0

Como esse limite é 0 , temos que esta série converge. Agora, precisamos saber se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 4

Uma série é absolutamente convergente se:

∑ a n   é   c o n v e r g e n t e   e   ∑ | a n |   t a m b é m   é   c o n v e r g e n t e

temos que nossa série toma então a forma:

∑ | a n | = ∑ | ( - 1 ) n l n   ( n ) n | = ∑ l n ( n ) n

Precisamos de outro teste para saber se esta nova série converge, note que o limite de a n convergir não é o suficiente. Então vamos lá!

Passo 5

Vamos utilizar o teste da razão, ou seja:

L   =   | l i m n → ∞ a n + 1 a n |

A série converge se L < 1 e diverge se L ≥ 1 (ou infinito). Beleza, bora aplicar isso! Temos que:

L   =   | l i m n → ∞ l n ( n + 1 ) / ( n + 1 ) l n ( n ) / n | = | l i m n → ∞ l n ( n + 1 ) l n ( n ) n n + 1 | = | l i m n → ∞ l n ( n + 1 ) l n   ( n ) l i m n → ∞ n n + 1 | →

→   | l i m n → ∞ 1 / ( n + 1 ) 1 / n l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n | = l i m n → ∞ n n + 1 × 1 1 + 0 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n × 1 →

→ 1 1 + 0 = 1

Portanto esta série diverge, e assim garantindo apenas que nossa série original é condicionalmente convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

C C