Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 3 2 n + 1 n 5 n + 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nesta série é conveniente analisarmos diretamente o teste do limite, o primeiro que aprendemos quando estamos analisando convergência de séries infinitas, ele diz o seguinte:

L   =   l i m n → ∞ a n

Se tivermos que | L | > 0 , ou se L é indefinido, a série diverge. Se temos que L = 0 , o teste é inconclusivo. Então, vamos verificar isto daqui.

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ 3 2 n + 1 n 5 n + 1 = l i m n → ∞ 3 5 3 2 n n 5 n = 3 5 l i m n → ∞ ( 9 / 5 ) n n

Vamos reescrever isto um pouquinho para que possamos aplicar L’Hospital, belezinha?

Passo 3

Reescrevendo a última igualdade do limite, temos:

3 5 l i m n → ∞ e l n ( 9 / 5 ) n n = 3 5 l i m n → ∞ e n l n ( 9 / 5 ) n → L ' H o s p i t a l → 3 5 l i m n → ∞   e n   l n ( 9 / 5 ) l n ( 9 / 5 ) = ∞

Como L   =   ∞ , temos que essa série necessariamente diverge, é isso!! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

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