Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 n n 2 + 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta é uma série alternada então podemos utilizar o teste das séries alternadas que especifica:

Se temos uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 a n = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + . . . + ( - 1 ) n - 1 a n + . . .

é convergente se se verificam as duas condições seguintes:

  • a k ≥ a k + 1 > 0 para todo k .
  • l i m n → ∞ a n = 0

Vamos checar estas condições, belezinha?

Passo 2

Vamos analisar se os termos desta série são decrescentes:

k k 2 + 1 - k + 1 ( k + 1 ) 2 + 1 = k ( ( k + 1 ) 2 + 1 ) - ( k 2 + 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 1 ) ( ( k + 1 ) 2 + 1 ) → ( k + 1 ) 2 = k 2 + 2 k + 1 →

→ k ( k 2 + 2 k + 2 ) - ( k 2 + 1 ) ( k + 1 ) ( k 2 + 1 ) ( k 2 + 2 k + 2 ) = k 3 + 2 k 2 + 2 k - ( k 3 + k 2 + k + 1 ) k 4 + 2 k 3 + k 2 + 4 k + 2 = k 2 + k - 1 k 4 + 2 k 3 + k 2 + 4 k + 2

Ou seja, para k ≥ 1 , temos que os termos da série são decrescentes. Agora precisamos apenas checar o limite. Bora lá!

Passo 3

Vamos calcular o limite estabelecido no teorema:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ n n 2 + 1 → L ' H o s p i t a l → l i m n → ∞ 1 2 n = 0

Como esse limite é 0 , temos que esta série converge. Agora, precisamos saber se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 4

Uma série é absolutamente convergente se:

∑ a n   é   c o n v e r g e n t e   e   ∑ | a n |   t a m b é m   é   c o n v e r g e n t e

temos que nossa série toma então a forma:

∑ | a n | = ∑ | ( - 1 ) n n n 2 + 1 | = ∑ n n 2 + 1

Precisamos de outro teste para saber se esta nova série converge, note que o limite de a n convergir a 0 não é o suficiente. Então vamos lá!

Passo 5

Vamos utilizar o teste da comparação, ou seja:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e a n ≥ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Este teste também pode tomar a forma:

l i m n → ∞ a n b n = c > 0

Então ambas as séries convergem ou ambas as séries convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

A série-p ∑ n = 1 ∞ 1 n p

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

Passo 6

Para aplicarmos o teste, precisamos escolher uma série que seja conveniente, uma maneira de fazer isso é observar os termos de maior ordem na série, da seguinte forma:

n n 2 + 1 → M a i o r   o r d e m → n n 2 → 1 n

Mantive apenas os termos de maior ordem no numerador e denominador. Ele nos indica que seria interessante escolher uma série-p do tipo 1 / n que é divergente pois o expoente é igual a 1. Bora comparar as duas!

Passo 7

Aplicando o limite do teste de comparação com b n = 1 / n , temos:

l i m n → ∞ n / ( n 2 + 1 ) 1 / n = l i m n → ∞ n 2 n 2 + 1 = l i m n - → ∞ 1 1 + 1 / n 2 = 1 1 + 0 = 1 > 0

Portanto ambas as séries divergem, e assim garantindo apenas que nossa série original é condicionalmente convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

C C