Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Para esta série vou utilizar o teste da comparação, e isso é tudo que precisamos saber sobre este teste. Ele é estabelecido da seguinte maneira:
Se temos e séries de termos positivos, podemos afirmar que:
- Se converge e para todo inteiro positivo , então converge.
- Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
Deste teorema também podemos tirar a seguinte informação:
nos garante que ambas as séries divergem ou convergem. No entanto, a pergunta fica: “Com que série eu irei comparar a minha série?”. Nós precisamos encontrar uma série conveniente que saibamos que converge ou diverge. No próximo passo te apresento uma ideia!
Passo 2
Temos a seguinte série com o formato parecido com o apresentado no enunciado:
Para esta série em particular é possível utilizar o teste da integral para analisar a sua convergência, saca só! Para podermos utilizar este teste devemos levar em consideração alguns fatores, tais como:
A função relacionada é sim sempre positiva, assim como é contínua, vamos verificar se ela é decrescente, beleza?
Passo 3
Para isso, vamos aplicar inicialmente a derivada da função relacionada, ou seja:
A derivada em relação a desta função pode ser obtida utilizando a regra do quociente (ou produto), juntamente com a regra da potência e da cadeia, obtendo o seguinte:
Essa expressão é negativa para todo valor de , portanto a função é decrescente neste intervalo. Vamos agora utilizar o teste da integral!
Passo 4
O teste da integral consiste em analisar a seguinte relação:
Se for um valor finito, temos que esta série é convergente, e se for infinito, a série é divergente. Vamos então verificar o valor de .
Passo 5
Como esta é uma integral imprópria, devemos escrever:
E para resolver esta integral é conveniente fazer uma mudança de variáveis do tipo , e portanto temos . Obtendo a seguinte integral:
Agora, vamos resolver esta integral, belezinha?
Passo 6
Esta integral utiliza a regra da primitiva de expressões polinomiais, da forma:
Em nosso caso, temos , portanto:
Como a integral diverge, temos que essa série diverge pelo teste da integral! Vamos agora aplicar o teste da comparação para a nossa série original, beleza?
Passo 7
Precisamos calcular o seguinte limite:
Inicialmente não poderíamos dizer nada se esse limite diverge, mas como nossa série diverge, podemos afirmar que a série diverge. Pois se o limite é possível mostrar que a divergência de é uma necessidade se é divergente. A questão foi isso, te vejo na próxima!