Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ a r c t a n ( n ) 1 + n 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para esta série vou utilizar o teste da comparação, e isso é tudo que precisamos saber sobre este teste. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e b n ≤ a n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Deste teorema também podemos tirar a seguinte informação:

l i m n → ∞ a n b n = c > 0

nos garante que ambas as séries divergem ou convergem. No entanto, a pergunta fica: “Com que série eu irei comparar a minha série?”. Nós precisamos encontrar uma série conveniente que saibamos que converge ou diverge. No próximo passo te apresento uma ideia!

Passo 2

Temos a seguinte série com o formato parecido com o apresentado no enunciado:

∑ n = 1 ∞ a r c t a n n n 2 + 1

Para esta série em particular é possível utilizar o teste da integral para analisar a sua convergência, saca só! Para podermos utilizar este teste devemos levar em consideração alguns fatores, tais como:

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d a   s é r i e   d e v e   s e r   c o n t í n u a   p a r a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   p o s i t i v a   x ≥ 1

f ( x )   r e l a c i o n a d a   à   a n   d e v e   s e r   d e c r e s c e n t e   x ≥ 1

A função relacionada é sim sempre positiva, assim como é contínua, vamos verificar se ela é decrescente, beleza?

Passo 3

Para isso, vamos aplicar inicialmente a derivada da função f ( x ) relacionada, ou seja:

f ( x ) = a r c t a n x 1 + x 2

A derivada em relação a x desta função pode ser obtida utilizando a regra do quociente (ou produto), juntamente com a regra da potência e da cadeia, obtendo o seguinte:

f ' ( x )   =   1 / ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 - 2 x   a r c t a n ( x ) ( 1 + x 2 ) 2 = 1 ( 1 + x 2 ) 2 ( 1 - 2 x a r c t a n x )

Essa expressão é negativa para todo valor de x ≥ 1 , portanto a função é decrescente neste intervalo. Vamos agora utilizar o teste da integral!

Passo 4

O teste da integral consiste em analisar a seguinte relação:

∫ 1 ∞ a r c t a n x 1 + x 2 d x =   I

Se I for um valor finito, temos que esta série é convergente, e se I   for infinito, a série é divergente. Vamos então verificar o valor de I .

Passo 5

Como esta é uma integral imprópria, devemos escrever:

l i m b → ∞ ∫ 1 b a r c t a n x 1 + x 2 d x

E para resolver esta integral é conveniente fazer uma mudança de variáveis do tipo u = a r c t a n x , e portanto temos d u = 1 1 + x 2 d x   . Obtendo a seguinte integral:

l i m b → ∞ ∫ a r c t a n 2 a r c t a n b u   d u

Agora, vamos resolver esta integral, belezinha?

Passo 6

Esta integral utiliza a regra da primitiva de expressões polinomiais, da forma:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Em nosso caso, temos n = 1 , portanto:

l i m b → ∞ ∫ a r c t a n 2 a r c t a n b u   d u = l i m b → ∞ 1 2 ( u 2 ) | a r c t a n 2 a r c t a n b = 1 2 l i m b → ∞ [ ( a r c t a n b ) 2 - ( a r c t a n 2 ) 2 ] = ∞

Como a integral diverge, temos que essa série diverge pelo teste da integral! Vamos agora aplicar o teste da comparação para a nossa série original, beleza?

Passo 7

Precisamos calcular o seguinte limite:

l i m n → ∞ a r c t a n ( n ) / 1 + n 2 a r c t a n ( n ) / 1 + n 2 = l i m n → ∞ 1 + n 2 1 + n 2 = l i m n → ∞ 1 + n 2 = ∞

Inicialmente não poderíamos dizer nada se esse limite diverge, mas como nossa série b n diverge, podemos afirmar que a série a n diverge. Pois se o limite l i m n → ∞ a n b n = ∞ é possível mostrar que a divergência de a n é uma necessidade se b n é divergente. A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

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