Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 2 ∞ ( - 1 ) n ( 0,9 ) n l n   n

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | ( - 1 ) n + 1 ( 0,9 ) n + 1 / l n ( n + 1 ) ( - 1 ) n ( 0,9 ) n / ( l n ( n ) ) | = | l i m n → ∞ ( - 1 ) n ( - 1 ) 1 ( 0,9 ) n ( 0,9 ) 1 ( - 1 ) n ( 0,9 ) n l n ( n ) l n ( n + 1 ) | = | l i m n → ∞ - 0,9 × l n ( n ) l n ( n + 1 ) | →

→ | - 0,9 l i m n → ∞ l n ( n ) l n ( n + 1 ) | → L ' H o s p i t a l → | - 0,9 l i m n → ∞ 1 / n 1 / ( n + 1 ) | = | - 0,9 l i m n → ∞ n + 1 n | →

→ | - 0,9 l i m n → ∞   1 + 1 / n 1 | = | - 0,9 × 1 + 0 1 | = 0,9

Como temos que o limite é menor do que 1, esta série é convergente. Agora, precisamos saber se ela é condicionalmente convergente , ou absolutamente convergente, beleza?

Passo 3

Precisamos analisar a seguinte condição:

∑ n = 2 ∞ | a n |   é   c o n v e r g e n t e ? ? ?

Se a reposta for sim, temos uma série absolutamente convergente. Bora analisar isto então! Temos que:

∑ n = 2 ∞ | ( - 1 ) n ( 0,9 ) n l n   n | = ∑ n = 2 ∞ 0 , 9 n l n ( n )

Vamos tentar utilizar o teste do limite!! Saca só!

Passo 4

Precisamos verificar a seguinte condição:

L   =   l i m n → ∞ a n

Se tivermos que | L | > 0 , ou se L é indefinido, a série diverge. Se temos que L = 0 , o teste é inconclusivo. Então, vamos verificar isto daqui.

L   =   l i m n → ∞ 0 , 9 n l n ( n ) = l i m n → ∞ e l n ( 0 , 9 n ) l n ( n ) = l i m n → ∞ e n l n ( 0,9 ) l n ( n ) = l i m n → ∞ 0,9 e n l n ( n ) →

→ L ' H o s p i t a l → l i m n → ∞ 0,9 e n 1 / n = l i m n → ∞ 0,9 n e n = ∞

Com a série diverge, nossa série original é condicionalmente convergente! Esta questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C C