Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n 1 n n

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nesta série é conveniente analisarmos diretamente o teste do limite, o primeiro que aprendemos quando estamos analisando convergência de séries infinitas, ele diz o seguinte:

L   =   l i m n → ∞ a n

Se tivermos que | L | > 0 , ou se L é indefinido, a série diverge. Se temos que L = 0 , o teste é inconclusivo. Então, vamos verificar isto daqui.

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ ( - 1 ) n 1 n n

Podemos analisar o comportamento desta série, em termos de suas somas parciais, note que:

S 1 =   - 1

S 2 = - 1 + 0,71 = - 0,29

S 3 = - 0,29 - 0,69 = - 0,98

S 4 = - 0,98 + 0,71 = - 0,27

S 5 = - 0,27 - 0,72 = - 0,99

Esse comportamento se repete, o que indica que este limite é indeterminado, desta forma podemos afirmar a divergência da série. O comportamento das somas parciais pode ser observado no gráfico a seguir:

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!!

Passo 3

Reescrevendo a última igualdade do limite, temos:

l i m n → ∞ e n e l n   ( n e ) = l i m n → ∞ e n e e   l n ( n ) = 1 e e l i m n → ∞ e n n → L ' H o s p i t a l → 1 e e l i m n → ∞   e n = ∞

Como L   =   ∞ , temos que essa série necessariamente diverge, é isso!! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

D