Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 - c o s   n n 2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e a n ≥ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

A série-p ∑ n = 1 ∞ 1 n p :

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!

Passo 2

Antes de iniciarmos nossas comparações, vamos fazer a seguinte análise:

∑ n = 1 ∞ 1 - c o s ( n ) n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - ∑ n = 1 ∞ c o s ( n ) n 2

Note que para garantirmos a convergência desta nossa série é necessário que ambas as séries somadas acima sejam convergentes. Mas, o primeiro termo é uma série-p com p = 2, portanto é convergente pelo que estabeleci no passo 1. Agora, vamos analisar o segundo termo.

Passo 3

Vale a pena lembrar que funções senoidais são limitadas dentro do seguinte intervalo:

- 1 ≤ c o s ( n ) ≤ 1

Essa ainda não é a nossa função, no entanto, podemos dividir toda inequação por n 2   , belezinha? Olha só:

- 1 / n 2 ≤ c o s   ( n ) ≤ 1 / n 2

Isso aí já é o suficiente para sabermos se nossa série converge ou não, consegue ver? Vou colocar no próximo passo para não dar spoiler! Ahahahhha.

Passo 4

Pela definição da série-p que coloquei no passo 1, temos que como 2 > 1 , a série com b n = 1 / n 2 converge. Mas como isso diz que a nossa série converge? Note que pela construção que fizemos no passo 2, temos que necessariamente nossa série com a n = c o s ( n ) / n 2 ≤ b n . Portanto, pelo teste da comparação, a nossa série converge. Essa questão já era! Bora para a próxima! Tchauzinho!!

Resposta

C