Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:
Se temos e séries de termos positivos, podemos afirmar que:
- Se converge e para todo inteiro positivo , então converge.
- Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:
A série-p :
- converge se
- diverge se
Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!
Passo 2
Antes de iniciarmos nossas comparações, vamos fazer a seguinte análise:
Note que para garantirmos a convergência desta nossa série é necessário que ambas as séries somadas acima sejam convergentes. Mas, o primeiro termo é uma série-p com p = 2, portanto é convergente pelo que estabeleci no passo 1. Agora, vamos analisar o segundo termo.
Passo 3
Vale a pena lembrar que funções senoidais são limitadas dentro do seguinte intervalo:
Essa ainda não é a nossa função, no entanto, podemos dividir toda inequação por , belezinha? Olha só:
Isso aí já é o suficiente para sabermos se nossa série converge ou não, consegue ver? Vou colocar no próximo passo para não dar spoiler! Ahahahhha.
Passo 4
Pela definição da série-p que coloquei no passo 1, temos que como , a série com converge. Mas como isso diz que a nossa série converge? Note que pela construção que fizemos no passo 2, temos que necessariamente nossa série com . Portanto, pelo teste da comparação, a nossa série converge. Essa questão já era! Bora para a próxima! Tchauzinho!!