Enunciado

Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e b n ≤ a n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Deste teorema também podemos tirar a seguinte informação:

l i m n → ∞ a n b n = c > 0

nos garante que ambas as séries divergem ou convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

Então vamos lá!

Passo 2

Para identificar quem será a nossa melhor opção para o teste de comparação, vamos reescrever nossa série um pouquinho:

∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 ( n 2 + n ) ( n + 2 ) 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 3 n 2 + 2 n 3

Com isso podemos analisar os termos de maior ordem no numerador e denominador, saca só!

1 n 3 + 3 n 2 + 2 n 3 → M a i o r   o r d e m → 1 n 3 3 = 1 n

Portanto como essa é uma série-p com p = 1 , temos uma série divergente. Vamos utilizar ela para comparar com a nossa série original.

Passo 3

Temos que:

l i m n → ∞ a n b n = l i m n → ∞ 1 / n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3 1 / n = l i m n → ∞ n ( n 3 + 3 n 2 + 2 n ) 1 / 3 = l i m n → ∞ n n ( 1 + 3 / n + 2 / n 2 ) 1 / 3 →

→ l i m n → ∞ 1 ( 1 + 3 / n + 2 / n 2 ) 1 / 3 = 1 ( 1 + 0 + 0 ) 1 / 3 = 1

Portanto, ambas as séries divergem pelo teste da comparação. A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

D