Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

2 1 ! - 2 × 4 2 ! + . . . + ( - 1 ) n - 1 2 × 4 . . . . ( 2 n ) n ! + . . .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Vamos primeiro reescrever esta série em termos de somatórios, antes de apresentar qualquer coisa:

2 1 ! - 2 × 4 2 ! + . . . + ( - 1 ) n - 1 2 × 4 . . . . ( 2 n ) n ! + . . . = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 ( 2 n ) × 2 ( n - 1 ) × 2 ( n - 2 ) × . . . n ! = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n n ! n ! →  

→ ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 2 n

Para essa série podemos utilizar o teste da razão e analisar sua convergência. Para isso, vamos lembrar primeiro qual é o teste da razão, saca só:

l i m n → ∞ | a n + 1 a n | = L

Se tivermos que L < 1 , a série converge absolutamente, se temos que L > 1 , a série diverge, e por último se L   =   1 , o teste é inconclusivo e temos que escolher outra coisa. Belezinha? Vamos tentar então!

Passo 2

Vamos calcular o limite que apresentei acima:

l i m n → ∞ | ( - 1 ) n 2 n + 1 ( - 1 ) n - 1 2 n | = | l i m n → ∞ ( - 1 ) n ( - 1 ) n ( - 1 ) - 1 2 n 2 1 2 n | = | - l i m n → ∞ 2 2 n | = 0

Como temos que o limite é menor do que 1, esta série é convergente. Agora, precisamos saber se ela é condicionalmente convergente , ou absolutamente convergente, beleza?

Passo 3

Precisamos analisar a seguinte condição:

∑ n = 2 ∞ | a n |   é   c o n v e r g e n t e ? ? ?

Se a reposta for sim, temos uma série absolutamente convergente. Bora analisar isto então! Temos que:

∑ n = 2 ∞ | ( - 1 ) n - 1 2 n | = ∑ n = 2 ∞ 2 n

Vamos utilizar o teste do limite aqui, belezinha?

Passo 4

Aplicando o limite do teste da razão temos:

L   =   l i m n → ∞ a n

Se este limite for 0 temos um teste inconclusivo, no entanto, se o limite L é maior que 0 (ou infinito), temos que esta é uma série divergente. Aqui podemos fazer isso bem rapidamente:

L   =   l i m n → ∞ 2 n = ∞

Portanto, nossa série é condicionalmente convergente. Esta questão foi isso, te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

C C