Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Esta é uma série alternada então podemos utilizar o teste das séries alternadas que especifica:
Se temos uma série alternada:
é convergente se se verificam as duas condições seguintes:
- para todo .
Vamos checar estas condições, belezinha?
Passo 2
Primeiro vamos escrever esta série no formato do teorema, para isso é conveniente fazer o seguinte:
Vamos analisar se os termos desta série são decrescentes, se definirmos uma função da seguinte maneira:
Calculando sua derivada, temos:
Ou seja, para , temos que os termos da série são decrescentes. Agora precisamos apenas checar o limite. Bora lá!
Passo 3
Vamos calcular o limite estabelecido no teorema:
Como esse limite é , temos que esta série converge. Agora, precisamos saber se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 4
Uma série é absolutamente convergente se:
temos que nossa série toma então a forma:
Precisamos de outro teste para saber se esta nova série converge, note que o limite de convergir a 0 não é o suficiente. Então vamos lá!
Passo 5
Vamos utilizar o teste da comparação, ou seja:
Se temos e séries de termos positivos, podemos afirmar que:
- Se converge e para todo inteiro positivo , então converge.
- Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
Este teste também pode tomar a forma:
Então ambas as séries convergem ou ambas as séries convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:
A série-p
- converge se
- diverge se
Passo 6
Para aplicarmos o teste, precisamos escolher uma série que seja conveniente, uma maneira de fazer isso é observar os termos de maior ordem na série, da seguinte forma:
Mantive apenas os termos de maior ordem no numerador e denominador. Ele nos indica que seria interessante escolher uma série-p do tipo que é convergente pois o expoente é maior do que 1. Bora comparar as duas!
Passo 7
Aplicando o limite do teste de comparação com , temos:
Portanto ambas as séries convergem, e assim garantindo apenas que nossa série original é absolutamente convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!