Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 n n + 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta é uma série alternada então podemos utilizar o teste das séries alternadas que especifica:

Se temos uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 a n = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + . . . + ( - 1 ) n - 1 a n + . . .

é convergente se se verificam as duas condições seguintes:

  • a k ≥ a k + 1 > 0 para todo k .
  • l i m n → ∞ a n = 0

Vamos checar estas condições, belezinha?

Passo 2

Nós temos que a k = k k + 1 e temos que a k + 1 = k + 1 k + 2 . Ambos os termos são necessariamente maiores do que zero, agora vamos analisar se uma função relacionada é decrescente, ou seja:

d f ( x ) d x < 0 → d d x x x + 1 = 1 2 x 1 x + 1 - x ( x + 1 ) 2 = 1 x + 1 ( 1 2 x - x x + 1 ) →

→ 1 x + 1 ( x + 1 - 2 x 2 x ( x + 1 ) ) = 1 x + 1 ( 1 - x 2 x ( x + 1 ) ) = - x - 1 2 x ( x + 1 ) 2

Ou seja, para x ≥ 1 essa função é decrescente, o que nos garante que a k + 1 ≥ a k , beleza. Agora precisamos apenas checar o limite. Bora lá!

Passo 3

Vamos calcular o limite estabelecido no teorema:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ n n + 1 → l i m n → ∞ 1 / n 1 + 1 / n = 0 1 + 0 = 0

Onde após a setinha eu dividi ambos numerador e denominador por n . Como esse limite é 0 , temos que esta série converge. Agora, precisamos saber se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 4

Uma série é absolutamente convergente se:

∑ a n   é   c o n v e r g e n t e   e   ∑ | a n |   t a m b é m   é   c o n v e r g e n t e

temos que nossa série toma então a forma:

∑ | a n | = ∑ | ( - 1 ) n - 1 n n + 1 | = ∑ n n + 1

Precisamos de outro teste para saber se esta nova série converge, note que o limite de a n convergir não é o suficiente. Então vamos lá!

Passo 5

Vamos utilizar o teste da razão, ou seja:

L   =   | l i m n → ∞ a n + 1 a n |

A série converge se L < 1 e diverge se L ≥ 1 (ou infinito). Beleza, bora aplicar isso! Temos que:

L   =   | l i m n → ∞ n + 1 / ( n + 2 ) n / ( n + 1 ) | = | l i m n → ∞ n + 1 n n + 1 n + 2 | = | l i m n → ∞ n + 1 n l i m n → ∞ n + 1 n + 2 | →

→   | l i m n → ∞ 1 + 1 / n 1 l i m n → ∞ 1 + 1 / n 1 + 2 / n | = | 1 + 0 1 × 1 + 0 1 | = | 1 | = 1

Portanto esta série diverge, e assim garantindo apenas que nossa série original é condicionalmente convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

C C