Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Esta é uma série alternada então podemos utilizar o teste das séries alternadas que especifica:
Se temos uma série alternada:
é convergente se se verificam as duas condições seguintes:
- para todo .
Vamos checar estas condições, belezinha?
Passo 2
Nós temos que e temos que . Ambos os termos são necessariamente maiores do que zero, agora vamos analisar se uma função relacionada é decrescente, ou seja:
Ou seja, para essa função é decrescente, o que nos garante que , beleza. Agora precisamos apenas checar o limite. Bora lá!
Passo 3
Vamos calcular o limite estabelecido no teorema:
Onde após a setinha eu dividi ambos numerador e denominador por . Como esse limite é , temos que esta série converge. Agora, precisamos saber se ela é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Vamos fazer isso no próximo passo.
Passo 4
Uma série é absolutamente convergente se:
temos que nossa série toma então a forma:
Precisamos de outro teste para saber se esta nova série converge, note que o limite de convergir não é o suficiente. Então vamos lá!
Passo 5
Vamos utilizar o teste da razão, ou seja:
A série converge se e diverge se (ou infinito). Beleza, bora aplicar isso! Temos que:
Portanto esta série diverge, e assim garantindo apenas que nossa série original é condicionalmente convergente. Essa questão foi isso, te vejo na próxima!