Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:
Se temos e séries de termos positivos, podemos afirmar que:
- Se converge e para todo inteiro positivo , então converge.
- Se diverge e para todo inteiro positivo , então diverge.
Este teste também pode tomar a forma:
Então ambas as séries convergem ou ambas as séries convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:
A série-p
- converge se
- diverge se
Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!
Passo 2
Vamos reescrever um pouco nossa série:
Precisamos que ambas as séries sejam convergentes para que a nossa série seja convergente. Se uma delas for divergente é o suficiente para dizer que nossa série é divergente. Vamos analisar a primeira inicialmente!
Passo 3
Vamos considerar a série:
Para escolhermos uma série conveniente à comparação, vamos simplificar esta expressão considerando apenas os termos de maior ordem no numerador e denominador, saca só:
Tendo em vista nosso resultado sendo do tipo , é uma constante qualquer, é interessante comparar nossa série com uma série-p da forma , que é convergente, uma vez que temos um número maior que 1 na potência do n. Vamos fazer a comparação!
Passo 4
Vamos aplicar o teorema que estabeleci no passo 1. Belezinha?
Portanto ambas as séries são convergentes. Beleza, a primeira das componentes de nossa série original é convergente. Mas para garantir a convergência ainda é necessário estabelecer se o segundo termo converge. Bora lá!
Passo 5
Para conseguirmos comparar esta série, vamos lembrar que funções senoidais estão limitadas ao seguinte intervalo:
Para ficar como a nossa série original, é interessante dividir toda a desigualdade por , desse jeitinho aqui:
Vamos tentar então observar a convergência da série , dependendo do resultado teremos nossa resposta final, bora lá!
Passo 6
Vamos tentar usar o teste da comparação para a série com um processo parecido ao que fizemos no passo 3:
O que nos indica uma série-p do tipo que é convergente para a nossa comparação. Bora lá!
Passo 7
Aplicando o teste da comparação, temos:
Portanto ambas as séries são convergentes. Muito bem! Fomos capazes de mostrar que ambas as componentes de nossa série original eram convergentes, portanto nossa série original é convergente! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!