Se a série é de termos positivos, determine se converge ou diverge; se a série contém termos negativos, determine se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n + c o s ( n ) n 3 + 1

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Esta série parece ter um formato conveniente para utilizarmos o teste da comparação. Ele é estabelecido da seguinte maneira:

Se temos ∑ a n e ∑ b n séries de termos positivos, podemos afirmar que:

  • Se ∑ b n converge e a n ≤ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n converge.
  • Se ∑ b n diverge e a n ≥ b n para todo inteiro positivo n , então ∑ a n diverge.

Este teste também pode tomar a forma:

l i m n → ∞ a n b n = c > 0

Então ambas as séries convergem ou ambas as séries convergem. Neste caso em específico, vou adicionar aqui outra definição que vamos utilizar que é a da convergência da série-p da forma:

A série-p ∑ n = 1 ∞ 1 n p

  • converge se p > 1
  • diverge se p ≤ 1

Maravilha! Com isso temos informação suficiente para resolver esta questão, saca só!

Passo 2

Vamos reescrever um pouco nossa série:

∑ n = 1 ∞ n + c o s ( n ) n 3 + 1 = ∑ n = 1 ∞ n n 3 + 1 + ∑ n = 1 ∞ c o s ( n ) n 3 + 1

Precisamos que ambas as séries sejam convergentes para que a nossa série seja convergente. Se uma delas for divergente é o suficiente para dizer que nossa série é divergente. Vamos analisar a primeira inicialmente!

Passo 3

Vamos considerar a série:

∑ n = 1 ∞ n n 3 + 1

Para escolhermos uma série conveniente à comparação, vamos simplificar esta expressão considerando apenas os termos de maior ordem no numerador e denominador, saca só:

n n 3 + 1 → M a i o r   o r d e m → n n 3 = 1 n 2

Tendo em vista nosso resultado sendo do tipo f ( n ) = c p 2 , c é uma constante qualquer, é interessante comparar nossa série com uma série-p da forma 1 / n 2 , que é convergente, uma vez que temos um número maior que 1 na potência do n. Vamos fazer a comparação!

Passo 4

Vamos aplicar o teorema que estabeleci no passo 1. Belezinha?

l i m n → ∞ n / ( n 3 + 1 ) 1 / n 2 = l i m n → ∞ n 3 n 3 + 1 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n 3 = 1 1 + 0 = 1 > 0

Portanto ambas as séries são convergentes. Beleza, a primeira das componentes de nossa série original é convergente. Mas para garantir a convergência ainda é necessário estabelecer se o segundo termo converge. Bora lá!

Passo 5

Para conseguirmos comparar esta série, vamos lembrar que funções senoidais estão limitadas ao seguinte intervalo:

- 1 ≤ c o s ( n ) ≤ + 1

Para ficar como a nossa série original, é interessante dividir toda a desigualdade por n 3 + 1 , desse jeitinho aqui:

- 1 n 3 + 1 ≤ c o s ( n ) n 3 + 1 ≤ 1 n 3 + 1

Vamos tentar então observar a convergência da série 1 / ( n 3 + 1 ) , dependendo do resultado teremos nossa resposta final, bora lá!

Passo 6

Vamos tentar usar o teste da comparação para a série com um processo parecido ao que fizemos no passo 3:

1 n 3 + 1 → M a i o r   o r d e m → 1 n 3

O que nos indica uma série-p do tipo 1 / n 3 que é convergente para a nossa comparação. Bora lá!

Passo 7

Aplicando o teste da comparação, temos:

l i m n → ∞ 1 / ( n 3 + 1 ) 1 / n 3 = l i m n → ∞ n 3 n 3 + 1 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n 3 = 1 1 + 0 = 1 > 0

Portanto ambas as séries são convergentes. Muito bem! Fomos capazes de mostrar que ambas as componentes de nossa série original eram convergentes, portanto nossa série original é convergente! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

C