Se sum_(n = 0)^(oo) a_n x^n , determine a_n usando a fórmula (11.42) para a_n .

Passo 1

Falaaa, como vai?? Pela fórmula (11.42) o a_n é definido por.

a_n = (f^((n)) (0))/(n !)

E para encontrarmos a função que depende de n , vamos derivar a função do enunciado e entender o que varia nela. Bora para o exemplo que em 1 minuto a gente resolve!!!

Passo 2

A função que o enunciado nos dá é:

f (x) = e^(- 2 x)

Derivando várias vezes.

f^' (x) = - 2 e^(3 x)

f^(' ') (x) = (- 2)^2 e^(3 x)

f^(' ' ') (x) = ( - 2 )^3 e^(3 x)

Perceba o expoente do 3 variando, então:

f^((n)) (x) = ( - 2 )^n e^(3 x)

Substituindo na fórmula do a_n e aplicando x = 0 .

a_n = (( - 2 )^n e^0)/(n !)

a_n = (( - 2 )^n)/(n !)

a_n = (- 1)^n (2^n)/(n !)

Resposta

a_n = (- 1)^n (2^n)/(n !)