O t r a ç o ( A ) é a soma dos elementos da diagonal da matriz A . Prove que

Os autovalores de A são iguais aos de A T .

Passo 1

E aí, pessoal, bora resolver mais um??!!

Seja A uma matriz quadrada, vale a seguinte igualdade:

d e t d e t   A T   = d e t ⁡ ( A )

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Sejam p ( λ ) e q ( λ ) os polinômios característicos de A e A T , respectivamente. Usando a igualdade acima e o que foi demonstrado no item (b) desse exercício, temos que:

p λ = d e t d e t   A - λ I   ⇒

p λ = d e t d e t   A - λ I T   ⇒

p λ = d e t d e t   A T - λ I   ⇒

p λ = q ( λ )

Como os polinômios característicos de A e A T são iguais, segue que eles possuem as mesmas raízes, ou seja, A e A T possuem autovalores iguais.

Resposta

Demonstração acima.