Suponha que λ é autovalor de A invertível e u autovalor de B com o mesmo autovetor v. Determine autovalor associado ao autovetor v de:

  1. A 2 b) A - 1 c) AB d) C =aA + bB com a,b

Passo 1

O primeiro passo é traduzir o comando da questão, inicialmente nós temos duas matrizes A e B com o mesmo autovetor v, mas autovalores diferentes. A ideia é em cada letra aplicar as condições propostas e encontrar um autovalor que satisfaça, por exemplo:

  1. A 2 , aqui nós temos uma matriz que é simplesmente elevada ao quadrado, ou seja, é bem simples, se o autovalor de A é λ , o autovalor de A 2 é só elevar o antigo autovalor ao quadrado, assim temos: λ 2 .
  2. Passo 2

  3. A - 1 , para encontrarmos a matriz inversa de A, primeiro consideramos A quando acompanhada do autovetor v e do seu autovalor λ , assim: A   v =   λ   v , como sabendo que A é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por A - 1 , obtendo: A - 1 A   v = A - 1   λ   v . Se a matriz é invertível, então λ é diferente de 0, logo, dividindo os termos por λ , vamos ter: A - 1   v = λ   - 1   v e, se simplificarmos:
  4. A - 1   = λ   - 1       →         A - 1 = 1 λ

    Passo 3

  5. AB, uma forma bem fácil de encontrar o autovalor da multiplicação de duas matrizes é resolver individualmente para da matriz e só depois multiplicar os autovalores. Portanto, sabendo que os autovalores de A e B são, respectivamente, λ e u, os autovalores de AB são λ u .
  6. Passo 4

  7. C =aA + bB com a,b ℝ ; essa letra D) parece complexa, mas na verdade é bem simples, se prestarmos atenção, nós temos que o autovalor de C é a soma dos autovalores de A e B multiplicados por números reais quaisquer. Portanto, basta substituirmos os autovalores que nós já temos conhecimento e manter as constantes “a” e “b”, dessa forma :

C = a u + b λ

Resposta

a) λ ; b) 1 λ ; c) λ u , d) a u + b λ