Suponha que é autovalor de A invertível e u autovalor de B com o mesmo autovetor v. Determine autovalor associado ao autovetor v de:
- b) c) AB d) C =aA + bB com a,b ∈ ℝ
Passo 1
O primeiro passo é traduzir o comando da questão, inicialmente nós temos duas matrizes A e B com o mesmo autovetor v, mas autovalores diferentes. A ideia é em cada letra aplicar as condições propostas e encontrar um autovalor que satisfaça, por exemplo:
- , aqui nós temos uma matriz que é simplesmente elevada ao quadrado, ou seja, é bem simples, se o autovalor de A é , o autovalor de é só elevar o antigo autovalor ao quadrado, assim temos: .
- , para encontrarmos a matriz inversa de A, primeiro consideramos A quando acompanhada do autovetor v e do seu autovalor , assim: , como sabendo que A é invertível, podemos multiplicar os dois lados da equação por , obtendo: . Se a matriz é invertível, então é diferente de 0, logo, dividindo os termos por , vamos ter: e, se simplificarmos:
- AB, uma forma bem fácil de encontrar o autovalor da multiplicação de duas matrizes é resolver individualmente para da matriz e só depois multiplicar os autovalores. Portanto, sabendo que os autovalores de A e B são, respectivamente, e u, os autovalores de AB são .
- C =aA + bB com a,b ∈ ℝ ; essa letra D) parece complexa, mas na verdade é bem simples, se prestarmos atenção, nós temos que o autovalor de C é a soma dos autovalores de A e B multiplicados por números reais quaisquer. Portanto, basta substituirmos os autovalores que nós já temos conhecimento e manter as constantes “a” e “b”, dessa forma :
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Resposta
a) ; b) ; c) , d)