Suponha que A = P D P^(- 1) com D = [[[[[1,],[,2]],[[,],[,]]],[[[,],[,]],[[ddots,],[,n]]]]] diagonal. Prova que det ( A^k ) = ( n ! )^k .

Passo 1

Faaaala, galeraaaa!

Primeiramente, vamos calcular o determinante. Temos que:

det ( A ) = det ( P ) det ( D ) det ( P^(- 1) )

Como

det ( P ) det ( P^(- 1) ) = I

Logo,

det ( A ) = det ( D )

Passo 2

Como a matriz D é uma matriz diagonal, seu determinante será o produto dos elementos de sua diagonal. Então:

det ( D ) = n !

Assim, por propriedade de determinantes:

det ( A^k ) = ( det ( A ) )^k = ( n ! )^k

Até mais!

Resposta

Prova nos passos.