Suponha que T :   R 2 → R 2 linear preserva área. Isto implica que   T preserva comprimentos também?

Passo 1

Faaalaaa, galeraaaa!

Bom, antes de responder se sim ou não, sabemos que para preservar a área temos que det ⁡ ( T ) = 1 . Considere então:

T x , y = ( x / 2 ,   2 y )

Passo 2

Vamos agora calcular o determinante do sistema descrito. Temos:

det ⁡ 1 / 2 0 0 2 = 1 2 ∙ 2 - 0 = 1

Passo 3

Agora note que na direção x   os comprimentos são divididos por 2 e na direção y os comprimentos são multiplicados por 2 , mesmo o determinante sendo igual a 1 . Logo, podemos afirmar que não. Preservar as áreas não implica preservar os comprimentos.

Até a próxima!

Resposta

Não. Preservar as áreas não implica preservar os comprimentos.