Suponha que { v 1 , v 2 ,   v 3 } é um conjunto LI. Prove que { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } com w i = v 1 + v i (com i = 1,2 , 3 ) é um conjunto LI.

Passo 1

E aí, pessoal, tudo bem? Vamos para a questão!!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v 1 ,   … ,   v n } é LI, se a equação abaixo:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Implicar em a 1 = … = a n = 0 .

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Temos que:

a 1 w 1 + a 2 w 2 + a 3 w 3 = 0 ⇒

a 1 v 1 + v 1 + a 2 v 1 + v 2 + a 3 v 1 + v 3 = 0 ⇒

2 a 1 + a 2 + a 3 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0

Como { v 1 , v 2 ,   v 3 } é um conjunto LI, a equação acima implica em:

2 a 1 + a 2 + a 3 = 0 a 2 = 0 a 3 = 0

Vemos imediatamente que a única solução desse sistema é a 1 = a 2 = a 3 = 0 . Sendo assim, concluímos que o conjunto { w 1 ,   w 2 ,   w 3 } é LI.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)