Suponha que A e   B são matrizes quadradas n × n com A B   =   I . Prove que B A   =   I .

Passo 1

Falaaaa, galeraaaa!

Calculando o determinante, temos:

det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( I )

Como o det ⁡   ( I ) = 1 , temos:

det ⁡ ( A B ) = 1

Por propriedade:

det ⁡ A det ⁡ ( B ) = 1

Passo 2

Com este resultado, podemos concluir que A é invertível, pois para ser invertível o determinante da matriz deve ser nulo. Assim, para que isso ocorra, se A ou B não são invertíveis, então det ⁡ ( A B ) também não seria.

Por fim, multiplicando A - 1 em ambos os lados da equação:

A - 1 ∙ A ∙ B = I ∙ A - 1

Como A - 1 ∙ A = 1 , temos

I ∙ B = I ∙ A - 1

Isolando B ,

B = A - 1

B = B I = B A B = B A B

Logo:

I - B A = 0

Assim, temos:

I = B A

Até a próxima!

Resposta

Primeiro devemos identificar que A é invertível, após multiplicar ambos os lados por A - 1 . Por fim, chegamos à conclusão que B = A - 1 e, portanto, I = B A .