Enunciado

Suponha que X 1 , X 2 , … , X n   seja um conjunto de vetores do R n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz nxn não singular, então A X 1 , A X 2 , … , A X n também é um conjunto linearmente independente.

Passo 1

Salve galera, como estão? Bora resolver um exercício muito simples mesmo, mamão com açúcar.

O próprio enunciado diz que o vetor que estamos estudando é formado por vetores LI e existe uma propriedade que diz que podemos ter a hipótese de que o mesmo seria LI também.

Passo 2

Outra possibilidade, o vetor resultado desse produto, vai ser um vetor proporcional a um vetor de determinante diferente de zero, o que vai resultar em outra com determinante diferente de zero e invertível também. Logo ela só possui uma única solução trivial, o que é uma característica de independência linear.

Resposta

A matriz vai ser linearmente independente, pois tem determinante diferente de 0, indicando que tem somente uma solução possível.