Suponha que A seja m × n com colunas linearmente independentes e b esteja em m. Use as equações normais para obter uma fórmula para , a projeção ortogonal de b sobre Col A. [Sugestão: Encontre primeiro; a fórmula não precisa de uma base ortogonal para Col A.]

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O objetivo é encontrar uma fórmula para b ˆ , se A é m × n com colunas linearmente independentes e b está em R m .

Como b é a projeção ortogonal para C o l ⁡ A , então b ˆ = A x ˆ . Usamos o seguinte resultado:

Que A seja uma matriz m × n , as seguintes afirmações são logicamente equivalentes:

1. A equação A x = b tem uma solução única de menos quadrados para cada um b em R m .

2. As colunas são A linearmente independentes.

3. A matriz A T A é invertível.

Assim, a solução menos quadrada x ˆ é given by x ˆ = A T A - 1 A T b .

Passo 2

Substituto x ˆ em b ˆ = A x ˆ .

b ˆ   = A x ˆ   = A A T A - 1 A T b

Aqui, a matriz A A T A - 1 A T é chamada de matriz de chapéus.

Portanto, a fórmula para b ˆ é b ˆ = A A T A - 1 A T b .

Resposta

b ˆ = A A T A - 1 A T b