Suponha que A seja m × n com colunas linearmente independentes e b esteja em m. Use as equações normais para obter uma fórmula para , a projeção ortogonal de b sobre Col A. [Sugestão: Encontre primeiro; a fórmula não precisa de uma base ortogonal para Col A.]
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
O objetivo é encontrar uma fórmula para , se é com colunas linearmente independentes e está em .
Como é a projeção ortogonal para , então . Usamos o seguinte resultado:
Que seja uma matriz , as seguintes afirmações são logicamente equivalentes:
1. A equação tem uma solução única de menos quadrados para cada um em .
2. As colunas são linearmente independentes.
3. A matriz é invertível.
Assim, a solução menos quadrada é given by .
Passo 2
Substituto em .
Aqui, a matriz é chamada de matriz de chapéus.
Portanto, a fórmula para é .