Suponha que A é semelhante a B
c) prove que A e B possuem os mesmo autovalores
Passo 1
Saca só que a gente vai destruir essa questão de uma forma bem fácil, o primeiro passo é relembrar a definição citada no comando sobre matrizes semelhantes, portanto, duas matrizes A e B são semelhantes quando existe uma matriz quadrada inversível P tal que .
Passo 2
A partir dessa definição nós vamo aplicar o processo para determinar os autovalores, ou seja, pegamos a matriz, subtraídos e fazemos determinante, desse modo:
Analisando essa equação, nós temos algumas informações:
- é o autovalor de B
- é o autovalor de A
- Se o autovalor de A for igual ao de B, então é certa a afirmativa
Passo 3
E por fim, basta desenvolver o lado direito (1) da equação:
Se e são equivalente inversos, então a multiplicação deles vale 1, simplificando a equação:
Ou seja, de fato temos que:
Portanto, A e B possuem os mesmos autovalores!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)