Suponha que A é semelhante a B

c) prove que A e B possuem os mesmo autovalores

Passo 1

Saca só que a gente vai destruir essa questão de uma forma bem fácil, o primeiro passo é relembrar a definição citada no comando sobre matrizes semelhantes, portanto, duas matrizes A e B são semelhantes quando existe uma matriz quadrada inversível P tal que P A P - 1 = B .

Passo 2

A partir dessa definição nós vamo aplicar o processo para determinar os autovalores, ou seja, pegamos a matriz, subtraídos λ e fazemos determinante, desse modo:

1                 d e t d e t   P A P - 1 - P λ P - 1   = d e t d e t   B - P λ P - 1               ( 2 )

Analisando essa equação, nós temos algumas informações:

  • d e t d e t   B - P λ P - 1   é o autovalor de B
  • d e t d e t   P A P - 1 - P λ P - 1   é o autovalor de A
  • Se o autovalor de A for igual ao de B, então é certa a afirmativa

Passo 3

E por fim, basta desenvolver o lado direito (1) da equação:

d e t   P A P - 1 - P λ P - 1 = d e t   P A - P λ P - 1 P - 1   = d e t   P   * d e t   A - P λ P - 1   * d e t ⁡ (   P - 1 )

Se d e t d e t   P   e d e t d e t   P - 1   são equivalente inversos, então a multiplicação deles vale 1, simplificando a equação:

d e t   A - P λ P - 1  

Ou seja, de fato temos que:

d e t   P A P - 1 - P λ P - 1   = d e t   A - P λ P - 1   = d e t   B - P λ P - 1    

Portanto, A e B possuem os mesmos autovalores!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)