Suponha que A é semelhante a B

b) prove que A 3 e B 3 também são semelhantes.

Passo 1

Saca só que a gente vai destruir essa questão de uma forma bem fácil, o primeiro passo é relembrar a definição citada no comando sobre matrizes semelhantes, portanto, duas matrizes A e B são semelhantes quando existe uma matriz quadrada inversível P tal que P A P - 1 = B .

Passo 2

A partir dessa definição, se o P A P - 1 3 = B 3 for igual à P B P - 1 3 = B 3 , logo podemos concluir que A 3 e B 3 são de fato semelhantes. Podemos afirmar que:

P B P - 1 P B 3 P - 1 P B 3 P - 1

A multiplicação de P e P - 1 é igual a matriz identidade:

P B P - 1 P B 3 P - 1 P B 3 P - 1 = P B P - 1 P B P - 1 P B P - 1 = P B I B I B P - 1

E consequentemente, a multiplicação de duas matrizes identidades vale 1, logo, substituindo esses valores na equação, temos: P B B B P - 1 .

Se P e P - 1 são equivalente inversos, então a multiplicação deles vale 1, simplificando a equação: P B B B P - 1 = B 3 , portanto, A e B são semelhantes.

E prontinho, terminamos! Topa resolver mais uma questão comigo?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)