Suponha que A é semelhante a B

  1. Prove que det(A) = det(B)

Passo 1

Bateu o olho na questão e pensou “E agora, José?” Calma que a gente responde aqui sem preocupações!!

Para mandar muito bem nessa questão, nós vamos relembrar a definição citada no comando sobre matrizes semelhantes, portanto, duas matrizes A e B são semelhantes quando existe uma matriz quadrada inversível P tal que P A P - 1 = B .

Passo 2

A partir dessa definição, se o d e t ⁡ ( P A P - 1 ) = d e t ⁡ ( B ) for igual à d e t ⁡ ( P B P - 1 ) = d e t ⁡ ( B ) , logo podemos concluir que det(A) = det(B). Podemos afirmar que:

  • d e t   P B P - 1   =   d e t   P   * d e t   B   * d e t   P - 1  

Se d e t d e t   P   e d e t d e t   P - 1   são equivalente inversos, então a multiplicação deles vale 1, simplificando a equação:

d e t   P B P - 1   = d e t ⁡ ( B )

Passo 3

Portanto,

d e t   P A P - 1   = d e t   P B P - 1   = d e t ⁡ ( B )

Logo:

d e t   A   = d e t ⁡ ( B )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)