Suponha que A é semelhante a B: e) prove que traço (A)=traço(B)
Passo 1
Ih bateu o desespero quando viu que a questão fala sobre Traço de matriz?
Calma que é mais simples do que parece!! Quando fala-se sobre Traço da matriz, estamos nos referindo à soma da diagonal dos termos. Beleza, mas como aplicar isso à questão?
Passo 2
Percebe que o próprio comando nos diz que temos matrizes A e B como semelhantes, além disso, na letra C, nós provamos que de fato as matrizes possuem os mesmos autovalores, ou seja, os termos diagonais da matrizes são... IGUAIS! Portanto, se formos para provar que o traço de A e de B são iguais basta mostrar que os autovalores também são equivalentes.
Passo 3
A partir dessa definição nós vamos aplicar o processo para determinar os autovalores, ou seja, pegamos a matriz, subtraídos e fazemos determinante, desse modo:
Analisando essa equação, nós temos algumas informações:
é o autovalor de B
é o autovalor de A
Se o autovalor de A for igual ao de B, então é certa a afirmativa.
Passo 4
E por fim, basta desenvolver o lado direito (1) da equação:
Se e são equivalente inversos, então a multiplicação deles vale 1, simplificando a equação:
Ou seja, de fato temos que:
Portanto, A e B possuem os mesmos autovalores e, consequentemente possuem também o mesmo traço!! E prontinho!!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)