Suponha que A é semelhante a B

d) Determine a relação entre os autovetores v de A e w de B (que são distintos e forma geral).

Passo 1

Saca só que a gente vai destruir essa questão de uma forma bem fácil, o primeiro passo é relembrar a definição citada no comando sobre matrizes semelhantes, portanto, duas matrizes A e B são semelhantes quando existe uma matriz quadrada inversível P tal que P A P - 1 = B .

Passo 2

Até aqui tranquilo, certo? Uma boa lógica é pensar que no item anterior C, nós já tínhamos determinado que os autovalores de A e B são IGUAIS, desse modo:

d e t   P A P - 1 - P λ P - 1   = d e t   A - P λ P - 1   = d e t   B - P λ P - 1  

Porém, de acordo com o comando os autovalores são distintos na forma geral, sabendo que A é semelhante de B, a única forma possível de termos autovalores iguais, mas de um modo diferente é que o autovalor de um seja o inverso do outro, portanto, podemos dizer que:

d e t   A - P λ P - 1   = v

d e t   B - P λ P - 1   = w

Então:

w = v   P - 1

Resposta

w = v   P - 1