Enunciado

25. Suponha que R 3 tenha produto interno

u → , v → = u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 + 3 u 3 v 3

Use o processo de Gram-Schmidt para transformar u → 1 = 1,1 , 1 ,   u → 2 = 1,1 , 0 , u → 3 = 1,0 , 0

Numa base ortonormal.

Passo 1

O primeiro passo do processo:

v 1 = u 1

v 1 = 1,1 , 1

Passo 2

O passo de v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 1 1 + 2 1 1 + 3 0 1

u 2 ⋅ v 1 = 3

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = v 1 ⋅ v 1

v 1 = 1 1 + 2 1 1 + 3 1 1

v 1 = 6

Então:

v 2 = u 2 - 3 6 2 v 1

v 2 = u 2 - 1 2 v 1

Substituindo os vetores:

v 2 = 1,1 , 0 - 1 2 1,1 , 1

v 2 = 1 2 , 1 2 , - 1 2

Passo 3

O passo de v 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = 1 1 + 2 0 1 + 3 0 1

u 3 ⋅ v 1 = 1

u 3 ⋅ v 2 = 1 1 2 + 2 0 1 2 + 3 0 - 1 2

u 3 ⋅ v 2 = 1 2

Calculando a norma de v 2 :

v 2 = v 2 ⋅ v 2

v 2 = 1 2 2 + 2 1 2 2 + 3 - 1 2 2

v 2 = 6 2

Então:

v 3 = u 3 - 1 6 2 v 1 - 1 2 6 2 2 v 2

v 3 = u 3 - 1 6 v 1 - 1 3 v 2

1,0 , 0 - 1 6 1,1 , 1 - 1 3 1 2 , 1 2 , - 1 2

Substituindo os vetores:

v 3 = 2 3 , - 1 3 , 0

Passo 4

Para ser ortogonal:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 1 6 , 1 6 , 1 6

q 2 = v 2 v 2

q 2 = 1 2 6 2 , 1 2 6 2 , - 1 2 6 2

q 2 = 1 6 , 1 6 , - 1 6

q 3 = v 3 v 3

Calculando a norma de v 3 :

v 3 = v 3 ⋅ v 3

v 3 = 2 3 2 + 2 - 1 3 2 + 3 0 2

v 3 = 6 3

Então:

q 3 = 2 3 6 3 , - 1 3 6 3 , 0 6 3

q 3 = 2 6 , - 1 6 , 0

Resposta

q 1 = 1 6 , 1 6 , 1 6

q 2 = 1 6 , 1 6 , - 1 6

q 3 = 2 6 , - 1 6 , 0

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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a
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