Suponha que os três pontos (1, -5), (—1, 1) e (2, 7) pertençam à parábola p x = a x 2 + b x + c .

  1. Determine um sistema linear de três equações a três incógnitas que deve ser resolvido para calcular a, b e c.
  2. Resolva o sistema linear obtido na parte (a) para a, b e c.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha. Vamos agora trabalhar em algumas questões de sistemas lineares.

Item a

Um sistema de três equações de três variáveis é escrito expandindo a equação da parábola dada:

p x 1 = a x 1 2 + b x 1 + c p x 2 = a x 2 2 + b x 2 + c p x 3 = a x 3 2 + b x 3 + c

Onde os coeficientes a, b e c de cada equação serão obtidos ao substituirmos cada um dos pontos dados da parábola:

U s a n d o   1 , - 5   e m   p x 1 = a x 1 2 + b x 1 + c = > p 1 = a ∙ 1 2 + b ∙ 1 + c = - 5

= > a + b + c = - 5

U s a n d o   - 1 , 1   e m   p x 2 = a x 2 2 + b x 2 + c = > p - 1 = a ∙ - 1 2 + b ∙ ( - 1 ) + c = 1

= > a - b + c = 1

U s a n d o   2 , 7   e m   p x 3 = a x 3 2 + b x 3 + c = > p 2 = a ∙ 2 2 + b ∙ 2 + c = 7

= > 4 a + 2 b + c = 7

Escrevendo o sistema obtido para os coeficientes, temos:

a + b + c = - 5             ( I ) a - b + c = 1                   ( I I ) 4 a + 2 b + c = 7         ( I I I )

Passo 2

Item b

Escalonando o sistema teremos:

I I - I : a - b + c = 1 - a - b - c = 5 = > - 2 b = 6

I I I - 4 I : 4 a + 2 b + c = 7 - 4 a - 4 b - 4 c = 20 = > - 2 b - 3 c = 27

Reescrevendo o sistema teremos:

a + b + c = - 5 2 b = - 6 2 b + 3 c = - 27

Que podemos resolver a partir da segunda equação:

2 b = - 6 = > b = - 6 2 = - 3

Substituindo esse resultado na equação 3:

2 ∙ - 3 + 3 c = - 27 = > 3 c = - 27 + 6 = > c = - 21 3 = - 7

Substituindo os resultados na equação 1:

a - 3 - 7 = - 5 = > a = - 5 + 10 = 5

Resposta

a = 5; b = -3; c = -7.