Suppose A is an n   x   n matrix with the property that the equation A x   =   0 has only the trivial solution. Without using the Invertible Matrix Theorem, explain directly why the equation A x   =   b   must have a solution for each b in R n .

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica e abstrata para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Primeiro vamos super que A é uma matriz n   x   n com a propriedade de que a equação Ax = 0 tem apenas a solução trivial. Desde que a equação A x   =   0 tenha apenas solução então A é equivalente por linhas à matriz identidade n   x   n . Se nós considerarmos a equação

A x = b

Passo 2

podemos usar a mesma operação de linha para a matriz aumentada para

A   x   =   b

então a matriz reduzida será a mesma que a matriz que obtivemos no primeiro caso e diferirá apenas na enésima coluna.

Portanto, a equação A x   =   b deve ter uma solução para cada b em R n

Resposta

A equação A x   =   b deve ter uma solução para cada b em R n