Suppose A is an matrix with the property that the equation has only the trivial solution. Without using the Invertible Matrix Theorem, explain directly why the equation must have a solution for each b in .
Passo 1
Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.
Hoje teremos uma questão mais teórica e abstrata para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Primeiro vamos super que A é uma matriz com a propriedade de que a equação Ax = 0 tem apenas a solução trivial. Desde que a equação tenha apenas solução então A é equivalente por linhas à matriz identidade . Se nós considerarmos a equação
Passo 2
podemos usar a mesma operação de linha para a matriz aumentada para
então a matriz reduzida será a mesma que a matriz que obtivemos no primeiro caso e diferirá apenas na enésima coluna.
Portanto, a equação deve ter uma solução para cada b em
Resposta
A equação deve ter uma solução para cada b em