Suppose A is an n x n matrix with the property that the equation Ax =b has at least one solution for each b in R n . Without using Theorems 5 or 8, explain why each equation Ax = b has in fact exactly one solution.

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica e abstrata para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Passo 2

Suponha que A é uma matriz n   x   n com a propriedade de que a equação A x   =   b tem pelo menos uma solução para cada B em R n . Do Teorema 4, Seção 1.4 para cada b em   R m , a equação A x   =   b tem uma solução então A como uma posição de pivô em cada linha. Aqui, A é uma matriz n   x   n , então A tem n pivôs e um pivô é sempre coluna.

Portanto A x   =   b deve ter uma solução para cada b em R n .

E é isso meus amigos, agora podemos dizer que após essa explicação tudo esta realmente bem.

Resposta

Portanto A x   =   b deve ter uma solução para cada b em R n .