Suppose a linear transformation T   :   R n   → R n has the property that T(u) = T(v) for some pair of distinct vectors u and v in R n . Can T map R n   onto   R n ? Why or why not?

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Seja A a matriz padrão de T. Por hipótese, T não é uma função injetora. Assim, pelo Teorema 12(b), a matriz padrão A de T tem colunas linearmente dependentes.

O Teorema 12(b)(pg. 78): T é injetora se e apenas se as colunas de A são linearmente independentes.

Passo 2

Desde que A é quadrada, as colunas de A não se estendem a R n .

Pelo Teorema 12 (a) T não pode ligar R n   s o b r e   R m .

O teorema 12 (a)(pg. 78): T liga R n   s o b r e   R m se e apenas se as colunas de A pertencem a R m .

Resposta

T não é uma função sobrejetora.