Suppose a linear transformation has the property that T(u) = T(v) for some pair of distinct vectors u and v in . Can T map onto? Why or why not?
Passo 1
Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.
Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Seja A a matriz padrão de T. Por hipótese, T não é uma função injetora. Assim, pelo Teorema 12(b), a matriz padrão A de T tem colunas linearmente dependentes.
O Teorema 12(b)(pg. 78): T é injetora se e apenas se as colunas de A são linearmente independentes.
Passo 2
Desde que A é quadrada, as colunas de A não se estendem a .
Pelo Teorema 12 (a) T não pode ligar
O teorema 12 (a)(pg. 78): T liga se e apenas se as colunas de A pertencem a
Resposta
T não é uma função sobrejetora.