Suppose T and S satisfy the invertibility equations (1) and
(2), where T is a linear transformation. Show directly that
S is a linear transformation. [Hint: Given u, v in , let
x = S(u); y = S(v). Then T(x) = u; T(y) = v: Why? Apply
S to both sides of the equation T(x) + T (y) = T(x + y).
Also, consider T(xc) = cT(x)]
Passo 1
Beleza Pessoal? Espero que todos estejam bem por aí, hoje iremos responder uma questão bem teórica de Álgebra Linear. Meio cansativo, mas iremos conseguir.
O que estamos tentando provar: Lembre-se que para S ser uma transformação linear, precisamos mostrar que para quaisquer vetores u, v n e para qualquer número real c, temos
Passo 2
A prova real: Seja u, v quaisquer dois vetores em . Então, como o domínio e o contradomínio de S é , existem vetores x = S(u) e y = S(v), ambos também em .
Até agora, não sabemos nada sobre esses vetores... exceto que, porque S e T satisfazem as equações de invertibilidade, deve ser o caso de
Passo 3
agora, aqui está o truque: sabemos que T é linear. Por isso
Agora, apenas inserindo as definições os x e yy em termos de S e simplificando, encontramos que
Agora aplique S em ambos os lados para obter nosso resultado
Agora, observe o que descobrimos: que S satisfaz a equação (1) para os vetores arbitrários u e v. Estamos na metade do caminho!
Mostraremos que S satisfaz a equação (2) exatamente de forma análoga. Nós sabemos isso
Conectando nossa definição de x:
e aplicando S em ambos os lados para obter
E assim mostramos que S satisfaz a equação (2). Assim S é linear.
Resposta
S é uma transformação linear.