Suppose T and S satisfy the invertibility equations (1) and

(2), where T is a linear transformation. Show directly that

S is a linear transformation. [Hint: Given u, v in R n , let

x = S(u); y = S(v). Then T(x) = u; T(y) = v: Why? Apply

S to both sides of the equation T(x) + T (y) = T(x + y).

Also, consider T(xc) = cT(x)]

Passo 1

Beleza Pessoal? Espero que todos estejam bem por aí, hoje iremos responder uma questão bem teórica de Álgebra Linear. Meio cansativo, mas iremos conseguir.

O que estamos tentando provar: Lembre-se que para S ser uma transformação linear, precisamos mostrar que para quaisquer vetores u, v n R n e para qualquer número real c, temos

S u + v = S u + S v   ( 1 )

S c u = c S u     ( 2 )

Passo 2

A prova real: Seja u, v quaisquer dois vetores em R n . Então, como o domínio e o contradomínio de S é R n , existem vetores x = S(u) e y = S(v), ambos também em R n .

Até agora, não sabemos nada sobre esses vetores... exceto que, porque S e T satisfazem as equações de invertibilidade, deve ser o caso de

T x = T S u = u

T y = T S v = v

Passo 3

agora, aqui está o truque: sabemos que T é linear. Por isso

T x + T y = T x + y

Agora, apenas inserindo as definições os x e yy em termos de S e simplificando, encontramos que

T S u + T S v = T S u + S v

u + v = T S u + S v

Agora aplique S em ambos os lados para obter nosso resultado

S u + v = S T S u + S v = S u + S v

Agora, observe o que descobrimos: que S satisfaz a equação (1) para os vetores arbitrários u e v. Estamos na metade do caminho!

Mostraremos que S satisfaz a equação (2) exatamente de forma análoga. Nós sabemos isso

T c x = c T x

Conectando nossa definição de x:

T ( c ( S ( u ) )   =   c T ( S ( u ) )   =   c u

e aplicando S em ambos os lados para obter

S T c S u = S c u

c S u = S c u

E assim mostramos que S satisfaz a equação (2). Assim S é linear.

Resposta

S é uma transformação linear.