Suppose T and U are linear transformations from R n to R n such that T U x = x   for all x in R n . Is it true that U. T U x = x   for all x in R n ? Why or why not?

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

A afirmação é verdadeira. Iremos demonstrar abaixo.

Passo 2

Seja A matriz padrão para T e B a matriz padrão para U. Como T ( U ( x ) )   =   x para todo x em R n , vemos que

A B x   = x

Para todo x pertencente ao R n .

Em particular, observe que A B x   =   b tem uma solução para todo b (essa solução é apenas x = b). Assim, pelo Teorema 8(g), a matriz AB é invertível. Então, do exercício 27, vemos que A e B também devem ser invertíveis. A partir do Teorema 9, descobrimos que T e U são invertíveis.

Passo 3

Agora que sabemos que ambos T e U são invertíveis, eu vou tentar mostrar que T é o inverso de U.

Desde que U é invertível, existe uma transformação S de tal forma que

S ( U ( x ) )   = x                 I

U ( S ( x ) )   = x               I I

Para todos x. Se pudermos mostrar isso T deve ser a mesma função que S, então terminamos.

O truque é começar com T(x) e usar qualquer das duas últimas equações ou ambas para mostrar que isso é igual A S(x) para todo x. Aqui vamos nós:

T ( x )   =   T ( U ( S ( x ) )                                             I I I

= S x                                                 I V

Você pegou? III está usando a equação II e IV está usando o fato de que T(U(y))) = y para cada y (incluindo quando y = S(x)).

Agora, desde T(x) = S(x) para cada x em R n , vemos que T= S. Isto é, T é o inverso de U e, portanto, nossa prova está completa.

Resposta

Verdadeiro.