Suppose T and U are linear transformations from to such that for all x in . Is it true that U. for all x in ? Why or why not?
Passo 1
Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.
Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

A afirmação é verdadeira. Iremos demonstrar abaixo.
Passo 2
Seja A matriz padrão para T e B a matriz padrão para U. Como para todo x em , vemos que
Para todo x pertencente ao .
Em particular, observe que tem uma solução para todo b (essa solução é apenas x = b). Assim, pelo Teorema 8(g), a matriz AB é invertível. Então, do exercício 27, vemos que A e B também devem ser invertíveis. A partir do Teorema 9, descobrimos que T e U são invertíveis.
Passo 3
Agora que sabemos que ambos T e U são invertíveis, eu vou tentar mostrar que T é o inverso de U.
Desde que U é invertível, existe uma transformação S de tal forma que
Para todos x. Se pudermos mostrar isso T deve ser a mesma função que S, então terminamos.
O truque é começar com T(x) e usar qualquer das duas últimas equações ou ambas para mostrar que isso é igual A S(x) para todo x. Aqui vamos nós:
Você pegou? III está usando a equação II e IV está usando o fato de que T(U(y))) = y para cada y (incluindo quando y = S(x)).
Agora, desde T(x) = S(x) para cada x em , vemos que T= S. Isto é, T é o inverso de U e, portanto, nossa prova está completa.
Resposta
Verdadeiro.