(b) T : R 4 → R 3 tal que o núcleo é plano x + y + z = 0 , z − w = 0 e a imagem (1, −1, 1),(1, 2, 3);

Passo 1

A primeira estratégia aqui simplesmente destruir essa questão, vai ser reescrever a transformação linear dada em função dos quatro variáveis do domínio, sendo:

T ( x , y , z , w ) = ( 2 x + 2 y + z + w   ,   x + y - z + 2 w   ,   4 x + 4 y + z + 3 w )

Desenvolvento esse sistema, temos que possíveis bases para o núcleo seriam (1,0,-1,-1) e (0,1,-1,-1). Como ainda não temos a dimensão 4 esperada, podemos ‘completar” a base com colunas da matriz identidade, por exemplo, (0,0,1,0) e também (0,0,0,1).

Passo 2

Ok Ok, aqui já temos todas as bases, o próximo passo é apenas determinar completamente T por:

  T 1,0 , - 1 , - 1 = T 0,1 , - 1 , - 1 = 0

T 0,0 , 1,0 = 1 , - 1,1

T 0,0 , 0,1 = ( 1,2 , 3 )

Resposta

T 1,0 , - 1 , - 1 = T 0,1 , - 1 , - 1