Um tanque de base retangular tem, em metros, as seguintes dimensões: base   5 x 6 , altura 3 . Dois terços do volume do tanque são ocupados por água. Na superfície superior da água forma-se uma pequena bolha de ar. A bolha está a igual distância das superfícies das paredes de   5   m   de base e, em relação às paredes de   6   m de base, sua posição é tal, que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra.Estabeleça um sistema de coordenadas, tendo como origem um dos cantos inferiores do tanque e como um dos planos de coordenadas a parede, de base   6   m , mais próxima da bolha, e dê, em relação a este sistema, as coordenadas do ponto onde se encontra a bolha.

Passo 1

Em primeiro lugar vamos estabelecer os vértices do tanque para o sistema de coordenadas:

Representamos a base 5 x 6 como um retângulo de vértices B ( 0,0 , 0 ) - satisfazendo a condição da origem ser em um dos cantos inferiores do tanque- A ( 5,0 , 0 ) e   C ( 0,6 , 0 ) e   D ( 5,6 , 0 ) .

Além disso, os pontos E(5,6,3), F(0,6,3), G(0,0,3) e H(5,0,3) garantem uma altura igual a 3 para o tanque.

Com os vértices determinados, vamos representar no gráfico?!

Passo 2

Mas, e a água?

Sabemos que o volume da água ocupa dois terços do tanque, que a área da base é a mesma para o volume do tanque e da água e que o volume é dado pelo produto de área da base e altura.

Então, V = b . h , sendo V o volume da caixa; b a área da base e h a altura da caixa.

E 2 3 V = b . H , sendo H a altura da água.

Assim, H = 2 3 h . Com h = 3 , temos H = 2 .

Já encontramos a altura que a bolha está!

As coordenadas da bolha são: ( ? , ? , 2 ) .

E as outras coordenadas da bolha?!

Passo 3

O exercício diz que a bolha está a uma mesma distância das paredes de 5 m , ou seja, está na metade do segmento entre as paredes. Sabemos a distância entre as paredes? Sim!! É justamente 6 m , que dividido por dois resulta em 3 m .

As coordenadas da bolha são: ( ? , 3,2 ) .

Agora só falta a coordenada x!

Em relação às paredes de 5 m, a distância da bolha a uma das paredes é o dobro da distância à outra. Ou seja, dividindo a distância entre as paredes por 3 , ficamos com 2 m . Assim, a bolha está à 2 m de uma parede e 4 m de outra.

Finalmente:

As coordenadas da bolha são: ( 2,3 , 2 )

Resposta

As coordenadas da bolha são: ( 2,3 , 2 )