(Teorema de Pitágoras Generalizado) Sejam v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n vetores ortogonais dois a dois, isto é, < v i | v j >   = 0 se i ≠ j . Prove que:

v 1 + … + v n 2 = v 1 2 + … + v n 2

Passo 1

E aí, galera, tudo certo? Vamos para a questão!!!

Primeiramente, vamos lembrar de dois conceitos importantes:

1- O produto interno é uma operação bilinear, ou seja, dados os vetores u , v e w e o real α , vale o seguinte:

< α u + v w >   = α < u w >   +   < v | w >

< w     α u + v >   = α < w u >   +   < w | v >

2- A norma de um vetor v é definida da seguinte maneira:

v = < v | v >   ⇒ v 2 =   < v | v >

Com os conceitos relembrados, vamos para o exercício.

Passo 2

Temos que:

v 1 + … + v n 2 =   < v 1 + … + v n | v 1 + … + v n >   ⇒

v 1 + … + v n 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n < v i | v j >  

Como para i ≠ j temos < v i | v j >   = 0 , obtemos:

v 1 + … + v n 2 = ∑ i = 1 n < v i | v i >   ⇒  

v 1 + … + v n 2 = ∑ i = 1 n v i 2

O que completa a demonstração.

Resposta

Resolução acima.