Os termos da sequência definida pela recorrência a 1 = 5 e a k + 1 = a k podem ser gerados introduzindo 5 e pressionando repetidas vezes tecla x .

b) Mostre que a n = 5 1 / 2 n e ache l i m n → ∞ a n .

Passo 1

Vamos continuar com esta questão, para mostrarmos esta expressão é conveniente escrevermos alguns termos e utilizar a indução matemática. Note que:

a 1 = 5 → a 2 = 5 1 / 2 → a 3 = ( 5 1 / 2 ) 1 / 2 = 5 1 / 4 → a 4 = ( ( 5 1 / 2 ) 1 / 2 ) 1 / 2 = 5 1 / 8 → . . .

Note que quando aumentamos o valor de n , nós obtemos um fator de n - 1 raízes elevadas, ou seja, a nossa expressão pode ser tomada como:

a n = 5 1 / ( 2 n - 1 )

Que é diferente do que se pede no enunciado, mas note que quando temos n = 1 , obtemos o valor a 1 = 5 , a expressão pedida nos levaria a um a 1 = 5 , o que é incoerente com o que nos foi fornecido na alternativa a). Vamos calcular o limite agora, bora lá!

Passo 2

Vamos aplicar o limite desejado:

l i m n → ∞ a   n → l i m n → ∞ 5 1 / ( 2 n - 1 ) → 5 l i m n → ∞ 1 / ( 2 n - 1 ) → 5 1 / ∞ → 5 0 = 1

Temos aí nosso resultado! Tchau Tchau!!!

Resposta

Ao longo do passo 1 e 2.