O A B C é um tetraedro regular de lado 1 (as 4 faces são triângulos equiláteros). x → = 2 O A → - 3 O B → e y → = O B → + O C → . Calcule o ângulo entre x → e y → .

Passo 1

Tudo bem, gente? Preparados para mais uma questão? Então vamos lá!

Para calcular o ângulo entre x → e y → , precisamos da fórmula

c o s   θ = x → ⋅ y → | x → | | y | →

Então, vamos calcular cada termo dessa fórmula separadamente:

x → ⋅ y → = ( 2 O A → - 3 O B → ) ⋅ ( O B → + O C → ) = 2 O A → ⋅ O B → + 2 O A → ⋅ O C → - 3 O B → ⋅ O → B - 3 O B → ⋅ O C →

x → ⋅ y → = 2 O A → ⋅ O B → + 2 O A → ⋅ O C → - 3 O B → ⋅ O → C - 3 | O B → | 2

| x → | 2 = x → ⋅ x → = ( 2 O A → - 3 O B → ) ⋅ ( 2 O A → - 3 O B → ) = 4 O A → ⋅ O A → - 6 O A → ⋅ O B → - 6 O B → ⋅ O A → + 9 O B → ⋅ O B →

| x → | 2 = 4 | O A → | 2 - 12 O B → ⋅ O A → + 9 | O B → | 2

| y → | 2 = y → ⋅ y → = ( O B → + O C → ) ⋅ ( O B → + O C → ) = O B → ⋅ O B → + O B → ⋅ O C → + O C → ⋅ O B → + O C → ⋅ O C →

| y → | 2 = | O B → | 2 + 2 O C → ⋅ O B → + | O C → | 2

Passo 2

Como as 4 faces são triângulos equiláteros de lado 1 , então o ângulo entre os vetores O A → , O B → , O C → é sempre 60 º e o módulo deles é sempre 1 .

c o s   60 º   =   1 2 = O A → ⋅ O B → | O A → | | O B → | ⇒ O A → ⋅ O B → = 1 2 | O A → | | O B → | = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 2

Da mesma forma, podemos concluir que

O A → ⋅ O C → = 1 2 | O A → | | O C → | = 1 2

O C → ⋅ O B → = 1 2 | O C → | | O B → | = 1 2

Agora, substituindo na fórmula do ângulo entre x → e y → , obtemos

x → ⋅ y → = 2 O A → ⋅ O B → + 2 O A → ⋅ O C → - 3 O B → ⋅ O → C - 3 | O B → | 2 = 2 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 2 - 3 ⋅ 1 2 - 3 ⋅ 1 = - 5 2

| x → | 2 = 4 | O A → | 2 - 12 O B → ⋅ O A → + 9 | O B → | 2 = 4 ⋅ 1 - 12 ⋅ 1 2 + 9 ⋅ 1 = 7 ⇒ | x → | = 7

| y → | 2 = | O B → | 2 + 2 O C → ⋅ O B → + | O C → | 2 = 1 + 2 ⋅ 1 2 + 1 = 3 ⇒ | y → | = 3

Então, o ângulo entre x → e y → , será

c o s   θ = x → ⋅ y → | x → | | y | → = - 5 2 3 7 = - 5 2 21

Resposta

c o s   θ = 5 2 21